Un problema de Armando Ricardo Michuy

Presentamos un problema de Armando Ricardo Michuy y su solución, así como
varias transformaciones del mismo usando conceptos de geometría proyectiva.
También damos una solución usando coordenadas baricéntricas.

Un problema de Armando Ricardo Michuy

Alineaciones y Lugares Geométricos en un triángulo rectángulo

Resolvemos un problema propuesto por Carlos Hugo Olivera Díaz (Perú) y hacemos un pequeño estudio sobre el mismo:

Problema. (Carlos Hugo Olivera Díaz). Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con A=90º, y $DEF$ y $XYZ$ los triángulo ceviano y pedal del incentro. Por $Y$ y $Z$ se trazan paralelas a  $BE$ y $CF$, que se cortan en $S$. Demostrar que los puntos $E$, $S$ y $F$ están alineados.

Alineaciones y Lugares Geométricos en un triángulo rectángulo

Dibuja un triángulo

No es corriente entrar a una librería y encontrar un libro con el título Dibuja un triángulo, de los autores Antonio Arcos Álvarez; Mónica Martínez Maroto; José Manuel Martínez Simón; Luis Méndez Valentín.

El libro presenta 513 problemas resueltos en los que se pide construir un triángulo, dados varios elementos del mismo.

El siguiente archivo contiene la portada, prólogo, índice y una página de nomenclatura: dibujauntriangulo.pdf





A continuación, algunas fuentes más de problemas de resolución de triángulos:

• El libro de Juan Sapiña Borja. De lo mejor en lo que se refiere a problemas de Geometría.
• La página de Ángel Montesdeoca.   Gran cantidad de material, muy bueno y muy bien presentado.
• El libro, en francés y en formato djvu, de Luis Lopes.
• El libro de Julius Petersen. Los problemas no vienen resueltos, sólo algunas indicaciones de algunos, pero muy buena la parte de teoría.
• La página web de Ricardo Barroso Campos. De vez en cuando se ve aquí un problema de construcción de triángulos.

Una cúbica como lugar geométrico

Es una suerte que de vez en cuando llegue una cuestión interesante que merece intentar darle respuesta.

En esta ocasión José García Piscoya, de Perú, me envió la cuestión siguiente:

Problema. Si ABC es un triángulo cualquiera, hallar el lugar geométrico de los puntos P tales que los ángulos CPA y APB son iguales.

Aunque el resultado es una cúbica, una inversión la transforma en una hipérbola fácil de trazar.

Una cúbica como lugar geométrico

Solución a una construcción geométrica

Resolvemos el siguiente problema:

Dado un triángulo $ABC$, construir dos circunferencias $(V)$ y $(W)$ tangentes entre sí de manera que además sea $(V)$ tangente a $AB$ en $A$ y $(W)$ es tangente a $BC$ en $C$.

Solución a una construcción geométrica

Elipses inscritas horizontales

Por simplicidad llamo elipses inscritas horizontales a las elipses (podrían ser otras cónicas) tales que están inscritas en un triángulo $ABC$ dado y alguno de sus ejes es paralelo a la recta $BC$.

En el siguiente documento se habla de cómo construirlas para cualquier triángulo y el lugar geométrico de sus centros.

Elipses inscritas horizontales

Caso particular de un problema

Aplicamos un problema sobre cónicas cualesquiera al caso particular de cónicas circunscritas a un triángulo y buscando que el resultado sea una parábola.

Caso particular de un problema

The Bicevian Conic of X2 and X8

Again, a problem by Tran Quang Hung in ADGEOM is the starting point of a little research:

The Bicevian Conic of X2 and X8

Updated: Added the locus of the perspectors in the cubic case.

Geometría de masas

La geometría de masas (Mass Point Geometry en inglés) se usa para resolver problemas geométricos usando propiedades físicas.

En breve, asignando pesos adecuados a puntos de una figura se puede obtener su centro de masas en un punto que nos convenga y así resolver un determinado problema.

"Dadme un punto de apoyo y seré capaz de mover el mundo", dijo Arquímedes.

Aquí pueden descargarse unos cuantos de estos problemas y una presentación que hice en Valladolid en 2010  en la Olimpiada Matemática Española que organizó Francisco Bellot Rosado ese año.

• Geometría de masas
• Presentación

Breve Introducción a la Resolución de Problemas

Material impartido en los cursos Thales-CICA 2007-08 y 2008-09, a cargo de Ricardo Barroso Campos (Universidad de Sevilla) y Francisco Javier García Capitán (I.E.S. Álvarez Cubero).

 Breve Introducción a la Resolución de Problemas

Análisis de un problema geométrico

Analizamos un problema geométrico, encontrando una generalización y una sencilla solución del mismo.

Análisis de un problema

Ceviana de Nagel con baricéntricas

En respuesta a  una propuesta de Milton Donaire, resolvemos este problema con coordenadas baricéntricas:

Nagel 03. La ceviana del punto de Nagel correspondiente a un vértice corta a la circunferencia inscrita en el punto mas alejado de lado opuesto.

Solución en pdf

 

The infinity as a tool (El infinito como herramienta)

One of my university professors said that projective geometry is the most democratic, because all the points, the infinite ones and the ordinary ones are the same. We take advantage of this to consider some line in a problem as line at infinity and, in this way the problem becomes very easy to solve.

Uno de mis profesores en la universidad decía que la geometría proyectiva es la más democrática, ya que todos los puntos, los infinitos y ordinarios eran los mismos. Hacemos uso de esto para considerar una determinada línea en un problema como recta del infinito, y entonces el problema resulta muy fácil de resolver.

A problem by Van Khea

Area of a conic section

This problem was proposed by Shafiqur Rahman on Facebook: Find the area and length of the semi axes of the section of the paraboloid $2x^2+y^2=z$ by the plane $x + 2 y + z = 4$.

We find a rigid motion that maps the given plane to the plane $z = 0$. We apply the same transformation to the given paraboloid and make $z=0$ then we get a equation of the conic on the $z=0$ plane. Next we get the reduced equation of the conic and its semiaxes.

Read the details here: Area of a conic section

Are they equal?

This question was proposed by Tony García on Facebook. Here is a solution that includes Mathematica calculations. The Descartes formula for circles touching other three mutually tangent circles is also used.

Solution

These are the values of R₁ (radius of upper red circle) and R₂ (radius of lower red circle) in terms of the side a of the square.

Locus of centroid of equilateral triangles in a parabola

Problem. Find the locus of centroid of equilateral triangles inscribed in the parabola $x^2=4ay$.

To solve this problem we use complex numbers and Mathematica's Eliminate. We find that the locus is another parabola.

 Locus of centroid of equilateral triangles inscribed in a parabola

Un método gráfico para resolver problemas

Poco antes del verano encontré en Internet el libro A graphic method for solving certain algebraic problems de George L. Vose 1831-1910.

El libro enseña cómo usar un método gráfico para resolver problemas de matemática elemental mediante un método gráfico, que como tal, dará la solución con mayor o menor aproximación dependiendo de las escalas y tamaño de nuestro gráfico, pero que puede ayudar a hacer un planteamiento sencillo de problemas que de otra forma resultarían mucho más difíciles.

Como muestra, aquí va un problema y el gráfico correspondiente.

Problema. Dos ciudades están a 50 millas una de la otra. Una persona A sale de una de ellas a las seis de la mañana en dirección a la otra, a la que llega a las 12 de la mañana, haciendo cuatro paradas de media hora al cabo de diez, veinte, treinta y cuarenta millas desde el punto de partida. Otra persona B sale a las siete del otro extremo del trayecto, viaja a veinte millas por hora durante una hora, después vuelve sobre sus pasos durante una hora a la velocidad de 10 millas por hora, y entonces da la vuelta de nuevo de manera que se encuentra con A cuando este está partiendo de su tercera parada; continuando a la misma velocidad, B se cruza a las diez y media con un tercer hombre C que salió de la primera ciudad dos horas después que A y se ha estado desplazando a velocidad constante. ¿A qué velocidad se ha estado desplazando C y donde se se encontró con B?

Se han representado los desplazamientos de los tres hombres, poniendo en horizontal las horas transcurridas desde las 6 y en vertical la distancia en millas desde la ciudad de salida.
El punto de encuentro Z de los hombres B y C ocurre aproximadamente a 23 millas y la velocidad de C es aproximadamente 9 millas por hora.
Para más detalles, puedes mirar este pdf

Three Parallel Segments

This is based on an idea of Juan Bosco Romero: Let $ABC$ be a triangle with incenter $I$ and circumcenter $O$.
Call $A_b, A_c$ the reflection of $A$ on lines $BI$ and $CI$, respectively. Define $B_c, B_a$ and $C_a, C_b$ analogously.
Then line segments $B_cC_b$, $C_aA_c$ and $A_bB_c$ are parallel. They are also proportional to the sides of $ABC$ and we have the ratios $B_cC_b/BC = C_aA_c/CA = A_bB_a/AB = OI/R$.


The common infinite point of lines $B_cC_b, C_aA_c$ and $A_bB_c$ is the isogonal conjugate of the point $X_{100}$.

Un buen libro de problemas

El libro Olimpiadas y Exámenes de Admisión, por G. N. Medviédev, contiene problemas tomados de diferentes variantes de exámenes que tuvieron lugar en la Facultad de Física de la Universidad Lomonósov de Moscú.

Inciden en cómo resolver y escribir correctamente la solución de un problema. Del prólogo, destacamos: "Frecuentemente después de un examen se pueden oir comentarios como 'Resolví la mayor de los problemas, pero no sé si los resolví correctamente'. En esta frase se mezcla lo humorístico (¿qué es un problema resuelto incorrectamente?) y lo trágico".

Como muestra, un problema de los propuestos, y mi solución al mismo.

Problema. Un automóvil parte del punto $A$ y se mueve con velocidad constante $v$ km/h en dirección al punto $B$. La distancia entre estos dos puntos es de 24,5 km. En el punto $B$ el automóvil comienza a moverse con movimiento uniformemetne retardado, disminuyendo su velocidad cada hora en 54 km/h, y se mueve de este modo hasta detenerse completamente. Después de detenerse, el automóvil regresa al punto $A$ con velocidad constante $v$ km/h. ¿Cuál debe ser la velocidad $v$ para que el automóvil recorra lo más rápido posible el camino desde el punto $A$ hasta el punto donde se detiene y desde aquí hasta el punto $A$ de la manera indicada anteriormente?

Solución

Llamamos $d=24,5$ y $a=54$. El primer trayecto es un movimiento uniforme con velocidad $v$, por lo que el tiempo empleado es $d/v$ horas. En el segundo trayecto, si llamamos $t$ al tiempo que dura la decelaración, tendremos que $v-at=0$, por lo que $t=v/a$. En ese tiempo, el espacio recorrido será \[s = vt - \frac{1}{2}a{t^2} = \frac{{{v^2}}}{a} - \frac{{{v^2}}}{{2a}} = \frac{{{v^2}}}{{2a}}.\] El tiempo que tardará en hacer el retorno será \[\frac{{d + \displaystyle \frac{{{v^2}}}{{2a}}}}{v} = \frac{d}{v} + \frac{v}{{2a}},\] y entonces el tiempo total es \[\frac{d}{v} + \frac{v}{a} + \left( {\frac{d}{v} + \frac{v}{{2a}}} \right) = \frac{{2d}}{v} + \frac{{3v}}{{2a}},\] que es máximo cuando \[\frac{{2d}}{v} = \frac{{3v}}{{2a}} \Rightarrow {v^2} = \frac{{4ad}}{3} = \frac{{4 \cdot 54 \cdot 24,5}}{3} = 36 \cdot 49 \Rightarrow v = 6 \cdot 7 = 42{\text{ km/h}}.\]

The Anticevian Intersection Conic

Given a triangle $ABC$ and a point $P$, we consider the cevian and anticevian triangles of $P$, $A'B'C'$ and $A''B''C''$, we consider six intersection points, all lying on the same conic. Which type of conic is this according to the position of $P$? When is this conic a circle?

The Anticevian Intersection Conic