Generalization of a Sangaku problem

This is a generalization of a sangaku problem.

• How to make the construction?
• What is the formula for the radius of the two congruent circles?

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Generalization of a sangaku problem.

Are they equal?

This question was proposed by Tony García on Facebook. Here is a solution that includes Mathematica calculations. The Descartes formula for circles touching other three mutually tangent circles is also used.

Solution

These are the values of R₁ (radius of upper red circle) and R₂ (radius of lower red circle) in terms of the side a of the square.

Un problema sangaku

El rombo $ABCD$ inscribe a dos circunferencias de radio $R$ y dos circunferencias de radio menor $r$. Sabemos que $AC=2a=85$ y $BD=2b=42$. Hallar $R$ y $r$.

Solución

Llamando $c=\sqrt{a^2+b^2}$, tenemos
\[R = \frac{{ab}}{{b + c}},\quad r = \frac{{a(aR + bc)}}{{{b^2}}}\left( {1 - \sqrt {1 - \frac{{{b^4}}}{{{{(aR + bc)}^2}}}} } \right).\] Aproximadamente, $R=13.04726$ y $r=6.17347$.

Construcción geométrica por Nicolás Rodríguez.

Dado el rombo $ABCD$, hemos construido la circunferencia $(E)$ inscrita al triángulo $BCD$. Queremos construir una circunferencia (azul) cuyo centro $F$ está sobre la recta BD de manera que sea tangente a la circunferencia (E) y a los lados $CD$ y $DA$ del rombo.

Sea $T$ el punto de tangencia de la circunferencia buscada con la recta $CD$. Si trazamos una paralela $m$ a la recta $CD$ y separada una distancia $R$ de ella, una circunferencia $\Gamma_1$ con centro $F$ que pase por $E$ será tangente a $m$ (en el punto $T_1$, de manera que $TT_1$ es perpendicular a $CD$).

Consideramos también una circunferencia $\Gamma_2$ que tiene su centro $G$ sobre $BD$ y pasa por $E$.

Ambas circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ pasan por $E$ y son simétricas respecto de $BD$, por lo que la recta $AC$ es el eje radical de dichas circunferencias. Si $Z$ es el punto de intersección de $m$ y $AC$, entonces, por pertenecer $Z$ al eje radical de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, las tangentes desde $Z$ a ambas circunferencias miden lo mismo.

Por tanto, se traza una tangente $ZT_2$ a $\Gamma_2$ y se determina sobre $m$ el punto $T_1$ tal que $ZT_1=ZT_2$. La perpendicular por $T_1$ a $m$ cortará a $BD$ en el punto $F$, centro de la circunferencia buscada.