viernes, 21 de octubre de 2011

Un problema sangaku

El rombo $ABCD$ inscribe a dos circunferencias de radio $R$ y dos circunferencias de radio menor $r$. Sabemos que $AC=2a=85$ y $BD=2b=42$. Hallar $R$ y $r$.


Solución
Llamando $c=\sqrt{a^2+b^2}$, tenemos
\[R = \frac{{ab}}{{b + c}},\quad r = \frac{{a(aR + bc)}}{{{b^2}}}\left( {1 - \sqrt {1 - \frac{{{b^4}}}{{{{(aR + bc)}^2}}}} } \right).\] Aproximadamente, $R=13.04726$ y $r=6.17347$.

Construcción geométrica por Nicolás Rodríguez.

Dado el rombo $ABCD$, hemos construido la circunferencia $(E)$ inscrita al triángulo $BCD$. Queremos construir una circunferencia (azul) cuyo centro $F$ está sobre la recta BD de manera que sea tangente a la circunferencia (E) y a los lados $CD$ y $DA$ del rombo.

Sea $T$ el punto de tangencia de la circunferencia buscada con la recta $CD$. Si trazamos una paralela $m$ a la recta $CD$ y separada una distancia $R$ de ella, una circunferencia $\Gamma_1$ con centro $F$ que pase por $E$ será tangente a $m$ (en el punto $T_1$, de manera que $TT_1$ es perpendicular a $CD$).

Consideramos también una circunferencia $\Gamma_2$ que tiene su centro $G$ sobre $BD$ y pasa por $E$.

Ambas circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ pasan por $E$ y son simétricas respecto de $BD$, por lo que la recta $AC$ es el eje radical de dichas circunferencias. Si $Z$ es el punto de intersección de $m$ y $AC$, entonces, por pertenecer $Z$ al eje radical de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, las tangentes desde $Z$ a ambas circunferencias miden lo mismo.

Por tanto, se traza una tangente $ZT_2$ a $\Gamma_2$ y se determina sobre $m$ el punto $T_1$ tal que $ZT_1=ZT_2$. La perpendicular por $T_1$ a $m$ cortará a $BD$ en el punto $F$, centro de la circunferencia buscada.

1 comentario:

  1. Hola Paco
    Echando un vistazo en tu blog me he topado con el problema sangaku y me ha gustado, pero como no entiendo la explicación (en el primer paso me he perdido) lo he resuelto gráficamente. La primera circunferencia la he encontrado facilmente ya que se trata de la circunferencia inscrita al triángulo BCD y por tanto R es el radio de esa circunferencia. El que es más complicado de obtener es el radio de la circunferencia pequeña, cuyo centro es el mismo que el de una tercera circunferencia que pasa por el centro de la primera y es tangente a una recta paralela al lado CD a una distancia igual a R. Esta tercera la he deducido por eje y centro radical. Como aquí no puedo subir la solución gráfica te la enviaré por correo electrónico.
    Saludos

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