Are they equal?

This question was proposed by Tony García on Facebook. Here is a solution that includes Mathematica calculations. The Descartes formula for circles touching other three mutually tangent circles is also used.

Solution

These are the values of R₁ (radius of upper red circle) and R₂ (radius of lower red circle) in terms of the side a of the square.

Locus of centroid of equilateral triangles in a parabola

Problem. Find the locus of centroid of equilateral triangles inscribed in the parabola $x^2=4ay$.

To solve this problem we use complex numbers and Mathematica's Eliminate. We find that the locus is another parabola.

 Locus of centroid of equilateral triangles inscribed in a parabola

A conic centered at the Euler line

Theorem. Given a triangle $ABC$, call $\Gamma$ the locus of points $P$ such that polar of $P$ with respect to the circumcircle is tangent to the nine point circle. Then we have:
1) $\Gamma$ is a conic whose center is $X_{26}$, the circumcenter of the tangential triangle.
2) $\Gamma$ is an ellipse, parabola o hyperbola if and only if the triangle is acute, rectangle or obtuse.
3) The diameter on the transverse axis of the conic is also a diameter of the circumcircle of tangential triangle. Therefore, the transverse axis of the conic is the Euler line of the triangle.
4) If  $\alpha$, $\beta$  are the lengths of the transverse and conjugate axes of the conic respectively, we have the relation

                                $\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^2=1-\frac{OH^2}{R^2}$

5) The foci of the conic are $O$ and $O'$, where $O'$ is the reflection of $O$ on the center $X_{26}$.

In fact, this is a particular case of some projective theorem: "the locus of poles with respect a conic of the tangents to another conic is also a conic".

Here is the version for two circles:

$(A)$ and $(B)$ are circles
The line $AB$ intersect $(B)$ at $M$ and $N$
$M'$ and $N'$ are the inverses of $M$ and $N$ with respect to $(A)$
$J$ is the inverse of $A$ with respect to $(B)$
$O$ is the inverse of $J$ with respect to $(A)$
$A'$ is the reflection of $A$ on $O$
The locus points $P$ such that the polar of $P$ with respect to $(A)$ is tangent to $(B)$ is a conic with foci $A$ and $A'$ and diameter $M'N'$.

A property of the orthocentroidal circle

If $ABC$ is a triangle, the circle with $GH$ as diameter, where $G$ and $H$ are the centroid and orthocenter of $ABC$, is called the orthocentroidal circle of $ABC$.

 

We present the following property of the orthocentroidal circle of a triangle: The locus of points $P$ such that the trilinear polar of $P$ goes through the inverse of $P$ on the circumcircle is a quartic, the isogonal conjugate of the orthocentroidal circle.

In the following figure, $Q$ lies on the orthocentroidal circle, $P$ is its isogonal conjugate and $P'$ is the inverse of $P$ on the circumcircle. $A'B'C'$ is the cevian triangle of $P$ and p is the trilinear polar of $P$, through $P'$.

Un método gráfico para resolver problemas

Poco antes del verano encontré en Internet el libro A graphic method for solving certain algebraic problems de George L. Vose 1831-1910.

El libro enseña cómo usar un método gráfico para resolver problemas de matemática elemental mediante un método gráfico, que como tal, dará la solución con mayor o menor aproximación dependiendo de las escalas y tamaño de nuestro gráfico, pero que puede ayudar a hacer un planteamiento sencillo de problemas que de otra forma resultarían mucho más difíciles.

Como muestra, aquí va un problema y el gráfico correspondiente.

Problema. Dos ciudades están a 50 millas una de la otra. Una persona A sale de una de ellas a las seis de la mañana en dirección a la otra, a la que llega a las 12 de la mañana, haciendo cuatro paradas de media hora al cabo de diez, veinte, treinta y cuarenta millas desde el punto de partida. Otra persona B sale a las siete del otro extremo del trayecto, viaja a veinte millas por hora durante una hora, después vuelve sobre sus pasos durante una hora a la velocidad de 10 millas por hora, y entonces da la vuelta de nuevo de manera que se encuentra con A cuando este está partiendo de su tercera parada; continuando a la misma velocidad, B se cruza a las diez y media con un tercer hombre C que salió de la primera ciudad dos horas después que A y se ha estado desplazando a velocidad constante. ¿A qué velocidad se ha estado desplazando C y donde se se encontró con B?

Se han representado los desplazamientos de los tres hombres, poniendo en horizontal las horas transcurridas desde las 6 y en vertical la distancia en millas desde la ciudad de salida.
El punto de encuentro Z de los hombres B y C ocurre aproximadamente a 23 millas y la velocidad de C es aproximadamente 9 millas por hora.
Para más detalles, puedes mirar este pdf

The Intenet Archive

¿Has oído hablar de un libro antiguo y quisieras echarle un vistazo?

Al menos si se trata de un libro de matemáticas y es de principios del siglo XX o anterior, es muy fácil que lo encuentres en http://archive.org

Entre otros formatos, la mayor parte de los libros se encuentra en pdf o djvu.

Three Parallel Segments

This is based on an idea of Juan Bosco Romero: Let $ABC$ be a triangle with incenter $I$ and circumcenter $O$.
Call $A_b, A_c$ the reflection of $A$ on lines $BI$ and $CI$, respectively. Define $B_c, B_a$ and $C_a, C_b$ analogously.
Then line segments $B_cC_b$, $C_aA_c$ and $A_bB_c$ are parallel. They are also proportional to the sides of $ABC$ and we have the ratios $B_cC_b/BC = C_aA_c/CA = A_bB_a/AB = OI/R$.


The common infinite point of lines $B_cC_b, C_aA_c$ and $A_bB_c$ is the isogonal conjugate of the point $X_{100}$.

SONIA + FRAN = PABLO

Con motivo del nacimiento de Pablo, presento este criptograma en el que cada letra corresponde a uno de los dígitos del 0 al 9, sin que se repita ninguno.

¿Sabrías encontrar alguna de las ocho soluciones? Y claro, ¿por qué no las ocho?

La integral definida

La integral definida se define como un límite de sumas superiores e inferiores, como indica la siguiente figura.

Aquí veremos cómo realizar una figura como ésta con Mathematica. En primer lugar vamos a definir las funciones: Maximo[f_, a_, b_] := Apply[Max, Map[f, Table[a + i/10 (b - a), {i, 0, 10}]]] Minimo[f_, a_, b_] := Apply[Min, Map[f, Table[a + i/10 (b - a), {i, 0, 10}]]] Para cierta función $f$ definida sobre el intervalo $[a,b]$, estas funciones calculan los máximos $M_1, M_2, \dots, M_n$ y mínimos $m_1, m_2, \cdots, m_n$ en los intervalos $[x_0, x_1], [x_1, x_2], \dots, [x_{n-1},x_n]$ resultantes de dividir el intervalo $[a,b]$ en $n$ partes iguales. A continuación definimos la función: CrearGrafico[f_, a_, b_, n_] := Module[{plot, a1}, plot = Plot[f[x], {x, a, b}, PlotStyle -> {Thick, Red}]; xs = Table[a + i/n (b - a), {i, 0, n}]; Ms = Table[Maximo[f, xs[[i]], xs[[i + 1]]], {i, 1, n}]; ms = Table[Minimo[f, xs[[i]], xs[[i + 1]]], {i, 1, n}]; M = Apply[Max, Ms]; m = Apply[Min, ms]; instr = Join[ {RGBColor[1, 1, 0.6]}, Table[Rectangle[{xs[[i]],0}, {xs[[i+1]], Ms[[i]]}], {i,1,n}], {Yellow}, Table[Rectangle[{xs[[i]],0}, {xs[[i+1]], ms[[i]]}], {i,1,n}], {Black}, Table[ Line[{{xs[[i]], ms[[i]]}, {xs[[i+1]], ms[[i]]}}], {i,1,n}], Table[ Line[{{xs[[i]], Ms[[i]]}, {xs[[i+1]], Ms[[i]]}}], {i,1,n}], Table[Line[{{xs[[i]], Min[0, ms[[i]], ms[[i - 1]]]}, {xs[[i]], Max[Ms[[i]], Ms[[i - 1]]]}}], {i, 2, n}], {Line[{{b, 0}, {b, Ms[[n]]}}]} ]; Show[{Graphics[instr], plot}, AspectRatio -> Automatic, Axes -> True, PlotRange -> {{a, b}, {m, M}}] ] Esta función crea la figura para una función $f$ en un intervalo $[a,b]$ en el que se han hecho $n$ divisiones. Podemos hacer interactivo el gráfico (permitiendo al usuario manipular el valor de $n$) definiendo CrearGrafico[f_, a_, b_] := Manipulate[ CrearGrafico[f, a, b, n], {n, 5, 40, 1}] y ahora, para representar $f(x)=1-x^2$ en $[0,1]$ podemos introducir CrearGrafico[1 - #^2 &, 0, 1]

Concurrent Brocard Axes

Let $ABC$ be a triangle, $P$ a point and $A' = AP \cap BC$. If the Euler lines of three triangles from the set $\{A'AB, A'BP, A'PC, A'CA\}$ are concurrent, then the Euler lines of all four triangles are concurrent (see Forum Geometricorum 2001).

Antreas Hatzipolakis asks for the same for Brocard axes (see Hyacinthos message 20664). Let's investigate it using barycentric coordinates and Mathematica.

Concurrent Brocard Axes

 

Orthology of Pedal and Cevian Triangles

In this article, I study the orthology of pedal and cevian triangles, and I identify the loci of the corresponding orthology centers.

Orthology of Pedal and Cevian Triangles

Un buen libro de problemas

El libro Olimpiadas y Exámenes de Admisión, por G. N. Medviédev, contiene problemas tomados de diferentes variantes de exámenes que tuvieron lugar en la Facultad de Física de la Universidad Lomonósov de Moscú.

Inciden en cómo resolver y escribir correctamente la solución de un problema. Del prólogo, destacamos: "Frecuentemente después de un examen se pueden oir comentarios como 'Resolví la mayor de los problemas, pero no sé si los resolví correctamente'. En esta frase se mezcla lo humorístico (¿qué es un problema resuelto incorrectamente?) y lo trágico".

Como muestra, un problema de los propuestos, y mi solución al mismo.

Problema. Un automóvil parte del punto $A$ y se mueve con velocidad constante $v$ km/h en dirección al punto $B$. La distancia entre estos dos puntos es de 24,5 km. En el punto $B$ el automóvil comienza a moverse con movimiento uniformemetne retardado, disminuyendo su velocidad cada hora en 54 km/h, y se mueve de este modo hasta detenerse completamente. Después de detenerse, el automóvil regresa al punto $A$ con velocidad constante $v$ km/h. ¿Cuál debe ser la velocidad $v$ para que el automóvil recorra lo más rápido posible el camino desde el punto $A$ hasta el punto donde se detiene y desde aquí hasta el punto $A$ de la manera indicada anteriormente?

Solución

Llamamos $d=24,5$ y $a=54$. El primer trayecto es un movimiento uniforme con velocidad $v$, por lo que el tiempo empleado es $d/v$ horas. En el segundo trayecto, si llamamos $t$ al tiempo que dura la decelaración, tendremos que $v-at=0$, por lo que $t=v/a$. En ese tiempo, el espacio recorrido será \[s = vt - \frac{1}{2}a{t^2} = \frac{{{v^2}}}{a} - \frac{{{v^2}}}{{2a}} = \frac{{{v^2}}}{{2a}}.\] El tiempo que tardará en hacer el retorno será \[\frac{{d + \displaystyle \frac{{{v^2}}}{{2a}}}}{v} = \frac{d}{v} + \frac{v}{{2a}},\] y entonces el tiempo total es \[\frac{d}{v} + \frac{v}{a} + \left( {\frac{d}{v} + \frac{v}{{2a}}} \right) = \frac{{2d}}{v} + \frac{{3v}}{{2a}},\] que es máximo cuando \[\frac{{2d}}{v} = \frac{{3v}}{{2a}} \Rightarrow {v^2} = \frac{{4ad}}{3} = \frac{{4 \cdot 54 \cdot 24,5}}{3} = 36 \cdot 49 \Rightarrow v = 6 \cdot 7 = 42{\text{ km/h}}.\]