viernes, 3 de febrero de 2012

La integral definida

La integral definida se define como un límite de sumas superiores e inferiores, como indica la siguiente figura.
Aquí veremos cómo realizar una figura como ésta con Mathematica. En primer lugar vamos a definir las funciones: Maximo[f_, a_, b_] := Apply[Max, Map[f, Table[a + i/10 (b - a), {i, 0, 10}]]] Minimo[f_, a_, b_] := Apply[Min, Map[f, Table[a + i/10 (b - a), {i, 0, 10}]]] Para cierta función $f$ definida sobre el intervalo $[a,b]$, estas funciones calculan los máximos $M_1, M_2, \dots, M_n$ y mínimos $m_1, m_2, \cdots, m_n$ en los intervalos $[x_0, x_1], [x_1, x_2], \dots, [x_{n-1},x_n]$ resultantes de dividir el intervalo $[a,b]$ en $n$ partes iguales. A continuación definimos la función: CrearGrafico[f_, a_, b_, n_] := Module[{plot, a1}, plot = Plot[f[x], {x, a, b}, PlotStyle -> {Thick, Red}]; xs = Table[a + i/n (b - a), {i, 0, n}]; Ms = Table[Maximo[f, xs[[i]], xs[[i + 1]]], {i, 1, n}]; ms = Table[Minimo[f, xs[[i]], xs[[i + 1]]], {i, 1, n}]; M = Apply[Max, Ms]; m = Apply[Min, ms]; instr = Join[ {RGBColor[1, 1, 0.6]}, Table[Rectangle[{xs[[i]],0}, {xs[[i+1]], Ms[[i]]}], {i,1,n}], {Yellow}, Table[Rectangle[{xs[[i]],0}, {xs[[i+1]], ms[[i]]}], {i,1,n}], {Black}, Table[ Line[{{xs[[i]], ms[[i]]}, {xs[[i+1]], ms[[i]]}}], {i,1,n}], Table[ Line[{{xs[[i]], Ms[[i]]}, {xs[[i+1]], Ms[[i]]}}], {i,1,n}], Table[Line[{{xs[[i]], Min[0, ms[[i]], ms[[i - 1]]]}, {xs[[i]], Max[Ms[[i]], Ms[[i - 1]]]}}], {i, 2, n}], {Line[{{b, 0}, {b, Ms[[n]]}}]} ]; Show[{Graphics[instr], plot}, AspectRatio -> Automatic, Axes -> True, PlotRange -> {{a, b}, {m, M}}] ] Esta función crea la figura para una función $f$ en un intervalo $[a,b]$ en el que se han hecho $n$ divisiones. Podemos hacer interactivo el gráfico (permitiendo al usuario manipular el valor de $n$) definiendo CrearGrafico[f_, a_, b_] := Manipulate[ CrearGrafico[f, a, b, n], {n, 5, 40, 1}] y ahora, para representar $f(x)=1-x^2$ en $[0,1]$ podemos introducir CrearGrafico[1 - #^2 &, 0, 1]

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