The Anticevian Intersection Conic

Given a triangle $ABC$ and a point $P$, we consider the cevian and anticevian triangles of $P$, $A'B'C'$ and $A''B''C''$, we consider six intersection points, all lying on the same conic. Which type of conic is this according to the position of $P$? When is this conic a circle?

The Anticevian Intersection Conic

Ámbito de un problema

En este documento analizamos un problema geométrico para detectar cuáles son las hipótesis importantes y de qué forma puede generalizarse, obteniendo así un enunciado más simple pero a la vez más general, que facilita su resolución

Ámbito de un problema

Círculo inscrito en un cuadrante de elipse

Un círculo de radio $r$ está inscrito en un cuadrante de elipse, cuyos semiejes son $a$ y $b$. ¿Cuál es la relación existente entre $a$, $b$ y $r$?

 

Solución

$$ \begin{gathered}4 r^8-12 \left(a^2+b^2\right) r^6+4 \left(3 a^4-5 b^2 a^2 +3 b^4\right) r^4 \\
-4 \left(a^2-b^2\right)^2 \left(a^2+b^2\right) r^2+a^2
b^2 \left(a^2-b^2\right)^2 =0. \end{gathered}$$

Nueva revista de geometría

Ha anunciado su aparición una nueva revista de Geometría: International Journal of Geometry, y es para mí un honor pertenecer al comité editorial de la misma.

Directamente de su declaración de intenciones,  la nueva revista publicará documentos de investigación de alta calidad y artículos de investigación en las áreas de la geometría euclididana y no euclidiana, y la geometría combinatoria. También de vez en cuando publicará las  las actas de las conferencias internacionales (co)-organizadas  por el Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación,  Colegio Nacional Vasile Alecsandri de Bacau y Universidad Vasile Alecsandri de Bacau. 

Los trabajos se publicarán en inglés.

Un problema sangaku

El rombo $ABCD$ inscribe a dos circunferencias de radio $R$ y dos circunferencias de radio menor $r$. Sabemos que $AC=2a=85$ y $BD=2b=42$. Hallar $R$ y $r$.

Solución

Llamando $c=\sqrt{a^2+b^2}$, tenemos
\[R = \frac{{ab}}{{b + c}},\quad r = \frac{{a(aR + bc)}}{{{b^2}}}\left( {1 - \sqrt {1 - \frac{{{b^4}}}{{{{(aR + bc)}^2}}}} } \right).\] Aproximadamente, $R=13.04726$ y $r=6.17347$.

Construcción geométrica por Nicolás Rodríguez.

Dado el rombo $ABCD$, hemos construido la circunferencia $(E)$ inscrita al triángulo $BCD$. Queremos construir una circunferencia (azul) cuyo centro $F$ está sobre la recta BD de manera que sea tangente a la circunferencia (E) y a los lados $CD$ y $DA$ del rombo.

Sea $T$ el punto de tangencia de la circunferencia buscada con la recta $CD$. Si trazamos una paralela $m$ a la recta $CD$ y separada una distancia $R$ de ella, una circunferencia $\Gamma_1$ con centro $F$ que pase por $E$ será tangente a $m$ (en el punto $T_1$, de manera que $TT_1$ es perpendicular a $CD$).

Consideramos también una circunferencia $\Gamma_2$ que tiene su centro $G$ sobre $BD$ y pasa por $E$.

Ambas circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ pasan por $E$ y son simétricas respecto de $BD$, por lo que la recta $AC$ es el eje radical de dichas circunferencias. Si $Z$ es el punto de intersección de $m$ y $AC$, entonces, por pertenecer $Z$ al eje radical de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, las tangentes desde $Z$ a ambas circunferencias miden lo mismo.

Por tanto, se traza una tangente $ZT_2$ a $\Gamma_2$ y se determina sobre $m$ el punto $T_1$ tal que $ZT_1=ZT_2$. La perpendicular por $T_1$ a $m$ cortará a $BD$ en el punto $F$, centro de la circunferencia buscada.

Matemáticas II - Exámenes de Selectividad

Recopilación de exámenes de Selectividad de Matemáticas II en Andalucía.

Exámenes de Selectividad

Actualización: Están incluidos los exámenes de 2015-2016.

Las esferas de Dandelin

Las esferas de Dandelin (Germinal Dandelin, 1794-1847) permiten demostrar fácilmente que una cónica definida con la propiedad de focos y distancias es una sección de un cono.

$ P F_1 + P F_2 = PQ_1 + P Q_2 = Q_1 Q_2 = \text{cte}.$

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Derivada del seno

Esta es la demostración de que la derivada de la función seno es la función coseno, es decir $(\operatorname{sen} x)'=\cos x$.  Ello implica demostrar que \[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\operatorname{sen} (x) - \operatorname{sen} (a)}}{{x - a}} = \cos a.\]

Derivada de la función seno

Sobre los cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo

Comienzo este blog presentando este trabajo sobre cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo.

Sobre los cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo