Breve Introducción a la Resolución de Problemas

Material impartido en los cursos Thales-CICA 2007-08 y 2008-09, a cargo de Ricardo Barroso Campos (Universidad de Sevilla) y Francisco Javier García Capitán (I.E.S. Álvarez Cubero).

 Breve Introducción a la Resolución de Problemas

A line transformation

 We study a line-to-line transformation proposed by Dao Thanh Oai at ADGEOM#24.

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A line transformation

Análisis de un problema geométrico

Analizamos un problema geométrico, encontrando una generalización y una sencilla solución del mismo.

Análisis de un problema

La circunferencia de Gallatly

Se llama circunferencia de Gallatly de un triángulo $ABC$ a la circunferencia pedal de sus puntos de Brocard. Es conocido que en un triángulo se cumple la desigualdad $R \geqslant 2r$. Pues bien, aquí vemos que además es $R \geqslant 2g \geqslant 2r$, siendo $g$ el radio de la circunferencia de Gallatly.

La circunferencia de Gallatly

The Gallatly circle of a given triangle is the pedal circle of its Brocard points. It is well known the inequality $R \geqslant 2r$. Here we introduce the refinement $R \geqslant 2g \geqslant 2r$, where $g$ is the radius of the Gallatly circle.

An elimination problem

Given a triangle $ABC$ and two isogonal points $P$ and $P*$, call $A'B'C'$ and $A''B''C''$ the antipedal triangles of $P, P*$, respectively.

The triangle bounded by $A'A''$, $B'B''$, $C'C''$ is always perspective with ABC (see Hyacinthos message #21782).

The perspector is complicated, although we can see that it is the isotomic conjugate of a simpler point.
We want to calculate the locus of this isotomic conjugate when the point $P$ moves along the Euler line. 


An elimination problem 

Triángulo circunceviano del baricentro

Presentamos el siguiente problema: Construir un triángulo $ABC$ conociendo las intersecciones $A' ,B', C'$ de sus medianas con la circunferencia circunscrita.

Considerando el problema desde el punto de vista del triángulo $A'B'C'$, se trata de obtener, dado un triángulo $A'B'C'$ un punto $G$ tal que dicho punto sea el baricentro del triángulo circunceviano $ABC$ de $G$ respecto de $A'B'C'$. En este trabajo usamos Mathematica para ver que el problema tiene dos soluciones, que se obtienen como intersección de tres cúbicas, y que puede comprobarse que son los focos de la elipse inscrita de Steiner del triángulo $A'B'C'$ dado.

Más información en este enlace.

Triángulo circunceviano del baricentro

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

A concurrency at X1659.

Given a triangle $ABC$, construct the circles with $BC$, $CA$, $AB$ as diameters, then construct the three circles touching internally two of them and externally the third one. The lines joining the centers of these triangles and the corresponding vertices concur at $X_{1659}$ (Yiu-Paasche point).

Dado un triángulo $ABC$, construimos las circunferencias que tienen por diámetros los lados $BC$, $CA$, $AB$ y luego construimos las tres circunferencias  que son tangentes internamente a dos de ellas y externamente a la tercera. Las rectas que unen los centros de estas circunferencias con los correspondientes vértices del triángulo se cortan en el punto $X_{1659}$ (punto de Yiu-Paasche).