A locus of triangles

 We study the set of all triangles such that $a^2 = b(b+c)$.

Download: A locus of triangles

Generalization of a Sangaku problem

This is a generalization of a sangaku problem.

• How to make the construction?
• What is the formula for the radius of the two congruent circles?

See details at:

Generalization of a sangaku problem.

About the A099938 sequence

This sequence contains the inverses of the radii of the circles in this chain:

See details at About the A099938 sequence

Una cúbica como lugar geométrico

Es una suerte que de vez en cuando llegue una cuestión interesante que merece intentar darle respuesta.

En esta ocasión José García Piscoya, de Perú, me envió la cuestión siguiente:

Problema. Si ABC es un triángulo cualquiera, hallar el lugar geométrico de los puntos P tales que los ángulos CPA y APB son iguales.

Aunque el resultado es una cúbica, una inversión la transforma en una hipérbola fácil de trazar.

Una cúbica como lugar geométrico

Solución a una construcción geométrica

Resolvemos el siguiente problema:

Dado un triángulo $ABC$, construir dos circunferencias $(V)$ y $(W)$ tangentes entre sí de manera que además sea $(V)$ tangente a $AB$ en $A$ y $(W)$ es tangente a $BC$ en $C$.

Solución a una construcción geométrica

Elipses inscritas horizontales

Por simplicidad llamo elipses inscritas horizontales a las elipses (podrían ser otras cónicas) tales que están inscritas en un triángulo $ABC$ dado y alguno de sus ejes es paralelo a la recta $BC$.

En el siguiente documento se habla de cómo construirlas para cualquier triángulo y el lugar geométrico de sus centros.

Elipses inscritas horizontales

Construcción del punto X370

Este post está dedicado a Carlos Hugo Olivera Díaz con motivo de su 62º cumpleaños.

 Construcción del punto X₃₇₀

Son unas indicaciones para construir el punto X₃₇₀, es decir, el punto cuyo triángulo ceviano es equilátero.

Es un problema que no puede resolverse con regla y compás. En este caso usamos la intersección de cónicas.

A line transformation

 We study a line-to-line transformation proposed by Dao Thanh Oai at ADGEOM#24.

 See details at

A line transformation

Three Parallel Segments

This is based on an idea of Juan Bosco Romero: Let $ABC$ be a triangle with incenter $I$ and circumcenter $O$.
Call $A_b, A_c$ the reflection of $A$ on lines $BI$ and $CI$, respectively. Define $B_c, B_a$ and $C_a, C_b$ analogously.
Then line segments $B_cC_b$, $C_aA_c$ and $A_bB_c$ are parallel. They are also proportional to the sides of $ABC$ and we have the ratios $B_cC_b/BC = C_aA_c/CA = A_bB_a/AB = OI/R$.


The common infinite point of lines $B_cC_b, C_aA_c$ and $A_bB_c$ is the isogonal conjugate of the point $X_{100}$.

The Anticevian Intersection Conic

Given a triangle $ABC$ and a point $P$, we consider the cevian and anticevian triangles of $P$, $A'B'C'$ and $A''B''C''$, we consider six intersection points, all lying on the same conic. Which type of conic is this according to the position of $P$? When is this conic a circle?

The Anticevian Intersection Conic

Círculo inscrito en un cuadrante de elipse

Un círculo de radio $r$ está inscrito en un cuadrante de elipse, cuyos semiejes son $a$ y $b$. ¿Cuál es la relación existente entre $a$, $b$ y $r$?

 

Solución

$$ \begin{gathered}4 r^8-12 \left(a^2+b^2\right) r^6+4 \left(3 a^4-5 b^2 a^2 +3 b^4\right) r^4 \\
-4 \left(a^2-b^2\right)^2 \left(a^2+b^2\right) r^2+a^2
b^2 \left(a^2-b^2\right)^2 =0. \end{gathered}$$

Un problema sangaku

El rombo $ABCD$ inscribe a dos circunferencias de radio $R$ y dos circunferencias de radio menor $r$. Sabemos que $AC=2a=85$ y $BD=2b=42$. Hallar $R$ y $r$.

Solución

Llamando $c=\sqrt{a^2+b^2}$, tenemos
\[R = \frac{{ab}}{{b + c}},\quad r = \frac{{a(aR + bc)}}{{{b^2}}}\left( {1 - \sqrt {1 - \frac{{{b^4}}}{{{{(aR + bc)}^2}}}} } \right).\] Aproximadamente, $R=13.04726$ y $r=6.17347$.

Construcción geométrica por Nicolás Rodríguez.

Dado el rombo $ABCD$, hemos construido la circunferencia $(E)$ inscrita al triángulo $BCD$. Queremos construir una circunferencia (azul) cuyo centro $F$ está sobre la recta BD de manera que sea tangente a la circunferencia (E) y a los lados $CD$ y $DA$ del rombo.

Sea $T$ el punto de tangencia de la circunferencia buscada con la recta $CD$. Si trazamos una paralela $m$ a la recta $CD$ y separada una distancia $R$ de ella, una circunferencia $\Gamma_1$ con centro $F$ que pase por $E$ será tangente a $m$ (en el punto $T_1$, de manera que $TT_1$ es perpendicular a $CD$).

Consideramos también una circunferencia $\Gamma_2$ que tiene su centro $G$ sobre $BD$ y pasa por $E$.

Ambas circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ pasan por $E$ y son simétricas respecto de $BD$, por lo que la recta $AC$ es el eje radical de dichas circunferencias. Si $Z$ es el punto de intersección de $m$ y $AC$, entonces, por pertenecer $Z$ al eje radical de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, las tangentes desde $Z$ a ambas circunferencias miden lo mismo.

Por tanto, se traza una tangente $ZT_2$ a $\Gamma_2$ y se determina sobre $m$ el punto $T_1$ tal que $ZT_1=ZT_2$. La perpendicular por $T_1$ a $m$ cortará a $BD$ en el punto $F$, centro de la circunferencia buscada.

Sobre los cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo

Comienzo este blog presentando este trabajo sobre cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo.

Sobre los cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo