Triángulo circunceviano del baricentro

Presentamos el siguiente problema: Construir un triángulo $ABC$ conociendo las intersecciones $A' ,B', C'$ de sus medianas con la circunferencia circunscrita.

Considerando el problema desde el punto de vista del triángulo $A'B'C'$, se trata de obtener, dado un triángulo $A'B'C'$ un punto $G$ tal que dicho punto sea el baricentro del triángulo circunceviano $ABC$ de $G$ respecto de $A'B'C'$. En este trabajo usamos Mathematica para ver que el problema tiene dos soluciones, que se obtienen como intersección de tres cúbicas, y que puede comprobarse que son los focos de la elipse inscrita de Steiner del triángulo $A'B'C'$ dado.

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Triángulo circunceviano del baricentro

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A concurrency at X1659.

Given a triangle $ABC$, construct the circles with $BC$, $CA$, $AB$ as diameters, then construct the three circles touching internally two of them and externally the third one. The lines joining the centers of these triangles and the corresponding vertices concur at $X_{1659}$ (Yiu-Paasche point).

Dado un triángulo $ABC$, construimos las circunferencias que tienen por diámetros los lados $BC$, $CA$, $AB$ y luego construimos las tres circunferencias  que son tangentes internamente a dos de ellas y externamente a la tercera. Las rectas que unen los centros de estas circunferencias con los correspondientes vértices del triángulo se cortan en el punto $X_{1659}$ (punto de Yiu-Paasche).

Asíntotas de una hipérbola

La figura siguiente muestra la construcción de las asíntotas de una hipérbola de la que sólo se conocen cinco puntos A, B, C, D, E:
Para más detalles ver: Asíntototas de una hipérbola Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Ceviana de Nagel con baricéntricas

En respuesta a  una propuesta de Milton Donaire, resolvemos este problema con coordenadas baricéntricas:

Nagel 03. La ceviana del punto de Nagel correspondiente a un vértice corta a la circunferencia inscrita en el punto mas alejado de lado opuesto.

Solución en pdf