A line transformation

 We study a line-to-line transformation proposed by Dao Thanh Oai at ADGEOM#24.

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A line transformation

Análisis de un problema geométrico

Analizamos un problema geométrico, encontrando una generalización y una sencilla solución del mismo.

Análisis de un problema

La circunferencia de Gallatly

Se llama circunferencia de Gallatly de un triángulo $ABC$ a la circunferencia pedal de sus puntos de Brocard. Es conocido que en un triángulo se cumple la desigualdad $R \geqslant 2r$. Pues bien, aquí vemos que además es $R \geqslant 2g \geqslant 2r$, siendo $g$ el radio de la circunferencia de Gallatly.

La circunferencia de Gallatly

The Gallatly circle of a given triangle is the pedal circle of its Brocard points. It is well known the inequality $R \geqslant 2r$. Here we introduce the refinement $R \geqslant 2g \geqslant 2r$, where $g$ is the radius of the Gallatly circle.

An elimination problem

Given a triangle $ABC$ and two isogonal points $P$ and $P*$, call $A'B'C'$ and $A''B''C''$ the antipedal triangles of $P, P*$, respectively.

The triangle bounded by $A'A''$, $B'B''$, $C'C''$ is always perspective with ABC (see Hyacinthos message #21782).

The perspector is complicated, although we can see that it is the isotomic conjugate of a simpler point.
We want to calculate the locus of this isotomic conjugate when the point $P$ moves along the Euler line. 


An elimination problem 

Triángulo circunceviano del baricentro

Presentamos el siguiente problema: Construir un triángulo $ABC$ conociendo las intersecciones $A' ,B', C'$ de sus medianas con la circunferencia circunscrita.

Considerando el problema desde el punto de vista del triángulo $A'B'C'$, se trata de obtener, dado un triángulo $A'B'C'$ un punto $G$ tal que dicho punto sea el baricentro del triángulo circunceviano $ABC$ de $G$ respecto de $A'B'C'$. En este trabajo usamos Mathematica para ver que el problema tiene dos soluciones, que se obtienen como intersección de tres cúbicas, y que puede comprobarse que son los focos de la elipse inscrita de Steiner del triángulo $A'B'C'$ dado.

Más información en este enlace.

Triángulo circunceviano del baricentro

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

A concurrency at X1659.

Given a triangle $ABC$, construct the circles with $BC$, $CA$, $AB$ as diameters, then construct the three circles touching internally two of them and externally the third one. The lines joining the centers of these triangles and the corresponding vertices concur at $X_{1659}$ (Yiu-Paasche point).

Dado un triángulo $ABC$, construimos las circunferencias que tienen por diámetros los lados $BC$, $CA$, $AB$ y luego construimos las tres circunferencias  que son tangentes internamente a dos de ellas y externamente a la tercera. Las rectas que unen los centros de estas circunferencias con los correspondientes vértices del triángulo se cortan en el punto $X_{1659}$ (punto de Yiu-Paasche).

Asíntotas de una hipérbola

La figura siguiente muestra la construcción de las asíntotas de una hipérbola de la que sólo se conocen cinco puntos A, B, C, D, E:
Para más detalles ver: Asíntototas de una hipérbola Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Ceviana de Nagel con baricéntricas

En respuesta a  una propuesta de Milton Donaire, resolvemos este problema con coordenadas baricéntricas:

Nagel 03. La ceviana del punto de Nagel correspondiente a un vértice corta a la circunferencia inscrita en el punto mas alejado de lado opuesto.

Solución en pdf

 

The infinity as a tool (El infinito como herramienta)

One of my university professors said that projective geometry is the most democratic, because all the points, the infinite ones and the ordinary ones are the same. We take advantage of this to consider some line in a problem as line at infinity and, in this way the problem becomes very easy to solve.

Uno de mis profesores en la universidad decía que la geometría proyectiva es la más democrática, ya que todos los puntos, los infinitos y ordinarios eran los mismos. Hacemos uso de esto para considerar una determinada línea en un problema como recta del infinito, y entonces el problema resulta muy fácil de resolver.

A problem by Van Khea

Area of a conic section

This problem was proposed by Shafiqur Rahman on Facebook: Find the area and length of the semi axes of the section of the paraboloid $2x^2+y^2=z$ by the plane $x + 2 y + z = 4$.

We find a rigid motion that maps the given plane to the plane $z = 0$. We apply the same transformation to the given paraboloid and make $z=0$ then we get a equation of the conic on the $z=0$ plane. Next we get the reduced equation of the conic and its semiaxes.

Read the details here: Area of a conic section