Solución a una construcción geométrica

Resolvemos el siguiente problema:

Dado un triángulo $ABC$, construir dos circunferencias $(V)$ y $(W)$ tangentes entre sí de manera que además sea $(V)$ tangente a $AB$ en $A$ y $(W)$ es tangente a $BC$ en $C$.

Solución a una construcción geométrica

Elipses inscritas horizontales

Por simplicidad llamo elipses inscritas horizontales a las elipses (podrían ser otras cónicas) tales que están inscritas en un triángulo $ABC$ dado y alguno de sus ejes es paralelo a la recta $BC$.

En el siguiente documento se habla de cómo construirlas para cualquier triángulo y el lugar geométrico de sus centros.

Elipses inscritas horizontales

Caso particular de un problema

Aplicamos un problema sobre cónicas cualesquiera al caso particular de cónicas circunscritas a un triángulo y buscando que el resultado sea una parábola.

Caso particular de un problema

The Bicevian Conic of X2 and X8

Again, a problem by Tran Quang Hung in ADGEOM is the starting point of a little research:

The Bicevian Conic of X2 and X8

Updated: Added the locus of the perspectors in the cubic case.

Two families of circles through the Feuerbach point

Presentamos una generalización de un problema propuesto por Tran Quang Hung en ADGEOM: 

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y excentros $I_a$, $I_b$, $I_c$. Las rectas $OI_a$, $OI_b$, $OI_c$ cortan a las rectas $BC$, $CA$, $AB$ en $A'$, $B'$, $C'$, respectivametne. Entonces la circunferencia circunscrita al triángulo $A'B'C'$ pasa por el punto de Feuerbach del triángulo  $ABC$.
 

Two families of circles through the Feuerbach point

 

Geometría de masas

La geometría de masas (Mass Point Geometry en inglés) se usa para resolver problemas geométricos usando propiedades físicas.

En breve, asignando pesos adecuados a puntos de una figura se puede obtener su centro de masas en un punto que nos convenga y así resolver un determinado problema.

"Dadme un punto de apoyo y seré capaz de mover el mundo", dijo Arquímedes.

Aquí pueden descargarse unos cuantos de estos problemas y una presentación que hice en Valladolid en 2010  en la Olimpiada Matemática Española que organizó Francisco Bellot Rosado ese año.

• Geometría de masas
• Presentación

A metric relationship between Fermat points and isodynamic points

Let $A_1BC$, $AB_1C$, $ABC_1$ be the equilateral triangles erected outwards the triangle $ABC$ and $A_2BC$, $AB_2C$, $ABC_2$  the equilateral triangles erected inwards the triangle $ABC$. The Fermat points $X_{13}$ and $X_{14}$ are the perspectors of $ABC$ and the triangles $A_1B_1C_1$ and $A_2B_2C_2$ respetively. We consider the equal distances  $d_{13}=AA=BB_1=CC_1$ and $d_{14}=AA_2=BB_2=CC_2$.

On the other hand, we consider the points $X_{15}$ and $X_{16}$, that are the isogonal conjugates of Fermat points and also are the only points that have equilateral pedal triangles. If we call $l_{15}$ and $l_{16}$ the sidelengths of the corresponding pedal triangles, then we have the formula:

$d_{13} l_{15} = 2 \Delta = d_{14} l_{16}$,

where $\Delta$ is the area of the triangle $ABC$.