Ámbito de un problema

En este documento analizamos un problema geométrico para detectar cuáles son las hipótesis importantes y de qué forma puede generalizarse, obteniendo así un enunciado más simple pero a la vez más general, que facilita su resolución

Ámbito de un problema

Círculo inscrito en un cuadrante de elipse

Un círculo de radio $r$ está inscrito en un cuadrante de elipse, cuyos semiejes son $a$ y $b$. ¿Cuál es la relación existente entre $a$, $b$ y $r$?

 

Solución

$$ \begin{gathered}4 r^8-12 \left(a^2+b^2\right) r^6+4 \left(3 a^4-5 b^2 a^2 +3 b^4\right) r^4 \\
-4 \left(a^2-b^2\right)^2 \left(a^2+b^2\right) r^2+a^2
b^2 \left(a^2-b^2\right)^2 =0. \end{gathered}$$

Nueva revista de geometría

Ha anunciado su aparición una nueva revista de Geometría: International Journal of Geometry, y es para mí un honor pertenecer al comité editorial de la misma.

Directamente de su declaración de intenciones,  la nueva revista publicará documentos de investigación de alta calidad y artículos de investigación en las áreas de la geometría euclididana y no euclidiana, y la geometría combinatoria. También de vez en cuando publicará las  las actas de las conferencias internacionales (co)-organizadas  por el Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación,  Colegio Nacional Vasile Alecsandri de Bacau y Universidad Vasile Alecsandri de Bacau. 

Los trabajos se publicarán en inglés.

Un problema sangaku

El rombo $ABCD$ inscribe a dos circunferencias de radio $R$ y dos circunferencias de radio menor $r$. Sabemos que $AC=2a=85$ y $BD=2b=42$. Hallar $R$ y $r$.

Solución

Llamando $c=\sqrt{a^2+b^2}$, tenemos
\[R = \frac{{ab}}{{b + c}},\quad r = \frac{{a(aR + bc)}}{{{b^2}}}\left( {1 - \sqrt {1 - \frac{{{b^4}}}{{{{(aR + bc)}^2}}}} } \right).\] Aproximadamente, $R=13.04726$ y $r=6.17347$.

Construcción geométrica por Nicolás Rodríguez.

Dado el rombo $ABCD$, hemos construido la circunferencia $(E)$ inscrita al triángulo $BCD$. Queremos construir una circunferencia (azul) cuyo centro $F$ está sobre la recta BD de manera que sea tangente a la circunferencia (E) y a los lados $CD$ y $DA$ del rombo.

Sea $T$ el punto de tangencia de la circunferencia buscada con la recta $CD$. Si trazamos una paralela $m$ a la recta $CD$ y separada una distancia $R$ de ella, una circunferencia $\Gamma_1$ con centro $F$ que pase por $E$ será tangente a $m$ (en el punto $T_1$, de manera que $TT_1$ es perpendicular a $CD$).

Consideramos también una circunferencia $\Gamma_2$ que tiene su centro $G$ sobre $BD$ y pasa por $E$.

Ambas circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ pasan por $E$ y son simétricas respecto de $BD$, por lo que la recta $AC$ es el eje radical de dichas circunferencias. Si $Z$ es el punto de intersección de $m$ y $AC$, entonces, por pertenecer $Z$ al eje radical de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, las tangentes desde $Z$ a ambas circunferencias miden lo mismo.

Por tanto, se traza una tangente $ZT_2$ a $\Gamma_2$ y se determina sobre $m$ el punto $T_1$ tal que $ZT_1=ZT_2$. La perpendicular por $T_1$ a $m$ cortará a $BD$ en el punto $F$, centro de la circunferencia buscada.

Matemáticas II - Exámenes de Selectividad

Recopilación de exámenes de Selectividad de Matemáticas II en Andalucía.

Exámenes de Selectividad

Actualización: Están incluidos los exámenes de 2015-2016.

Las esferas de Dandelin

Las esferas de Dandelin (Germinal Dandelin, 1794-1847) permiten demostrar fácilmente que una cónica definida con la propiedad de focos y distancias es una sección de un cono.

$ P F_1 + P F_2 = PQ_1 + P Q_2 = Q_1 Q_2 = \text{cte}.$

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Derivada del seno

Esta es la demostración de que la derivada de la función seno es la función coseno, es decir $(\operatorname{sen} x)'=\cos x$.  Ello implica demostrar que \[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\operatorname{sen} (x) - \operatorname{sen} (a)}}{{x - a}} = \cos a.\]

Derivada de la función seno