Locus of centroid of equilateral triangles in a parabola

Problem. Find the locus of centroid of equilateral triangles inscribed in the parabola $x^2=4ay$.

To solve this problem we use complex numbers and Mathematica's Eliminate. We find that the locus is another parabola.

 Locus of centroid of equilateral triangles inscribed in a parabola

A conic centered at the Euler line

Theorem. Given a triangle $ABC$, call $\Gamma$ the locus of points $P$ such that polar of $P$ with respect to the circumcircle is tangent to the nine point circle. Then we have:
1) $\Gamma$ is a conic whose center is $X_{26}$, the circumcenter of the tangential triangle.
2) $\Gamma$ is an ellipse, parabola o hyperbola if and only if the triangle is acute, rectangle or obtuse.
3) The diameter on the transverse axis of the conic is also a diameter of the circumcircle of tangential triangle. Therefore, the transverse axis of the conic is the Euler line of the triangle.
4) If  $\alpha$, $\beta$  are the lengths of the transverse and conjugate axes of the conic respectively, we have the relation

                                $\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^2=1-\frac{OH^2}{R^2}$

5) The foci of the conic are $O$ and $O'$, where $O'$ is the reflection of $O$ on the center $X_{26}$.

In fact, this is a particular case of some projective theorem: "the locus of poles with respect a conic of the tangents to another conic is also a conic".

Here is the version for two circles:

$(A)$ and $(B)$ are circles
The line $AB$ intersect $(B)$ at $M$ and $N$
$M'$ and $N'$ are the inverses of $M$ and $N$ with respect to $(A)$
$J$ is the inverse of $A$ with respect to $(B)$
$O$ is the inverse of $J$ with respect to $(A)$
$A'$ is the reflection of $A$ on $O$
The locus points $P$ such that the polar of $P$ with respect to $(A)$ is tangent to $(B)$ is a conic with foci $A$ and $A'$ and diameter $M'N'$.

A property of the orthocentroidal circle

If $ABC$ is a triangle, the circle with $GH$ as diameter, where $G$ and $H$ are the centroid and orthocenter of $ABC$, is called the orthocentroidal circle of $ABC$.

 

We present the following property of the orthocentroidal circle of a triangle: The locus of points $P$ such that the trilinear polar of $P$ goes through the inverse of $P$ on the circumcircle is a quartic, the isogonal conjugate of the orthocentroidal circle.

In the following figure, $Q$ lies on the orthocentroidal circle, $P$ is its isogonal conjugate and $P'$ is the inverse of $P$ on the circumcircle. $A'B'C'$ is the cevian triangle of $P$ and p is the trilinear polar of $P$, through $P'$.

Un método gráfico para resolver problemas

Poco antes del verano encontré en Internet el libro A graphic method for solving certain algebraic problems de George L. Vose 1831-1910.

El libro enseña cómo usar un método gráfico para resolver problemas de matemática elemental mediante un método gráfico, que como tal, dará la solución con mayor o menor aproximación dependiendo de las escalas y tamaño de nuestro gráfico, pero que puede ayudar a hacer un planteamiento sencillo de problemas que de otra forma resultarían mucho más difíciles.

Como muestra, aquí va un problema y el gráfico correspondiente.

Problema. Dos ciudades están a 50 millas una de la otra. Una persona A sale de una de ellas a las seis de la mañana en dirección a la otra, a la que llega a las 12 de la mañana, haciendo cuatro paradas de media hora al cabo de diez, veinte, treinta y cuarenta millas desde el punto de partida. Otra persona B sale a las siete del otro extremo del trayecto, viaja a veinte millas por hora durante una hora, después vuelve sobre sus pasos durante una hora a la velocidad de 10 millas por hora, y entonces da la vuelta de nuevo de manera que se encuentra con A cuando este está partiendo de su tercera parada; continuando a la misma velocidad, B se cruza a las diez y media con un tercer hombre C que salió de la primera ciudad dos horas después que A y se ha estado desplazando a velocidad constante. ¿A qué velocidad se ha estado desplazando C y donde se se encontró con B?

Se han representado los desplazamientos de los tres hombres, poniendo en horizontal las horas transcurridas desde las 6 y en vertical la distancia en millas desde la ciudad de salida.
El punto de encuentro Z de los hombres B y C ocurre aproximadamente a 23 millas y la velocidad de C es aproximadamente 9 millas por hora.
Para más detalles, puedes mirar este pdf

The Intenet Archive

¿Has oído hablar de un libro antiguo y quisieras echarle un vistazo?

Al menos si se trata de un libro de matemáticas y es de principios del siglo XX o anterior, es muy fácil que lo encuentres en http://archive.org

Entre otros formatos, la mayor parte de los libros se encuentra en pdf o djvu.

Three Parallel Segments

This is based on an idea of Juan Bosco Romero: Let $ABC$ be a triangle with incenter $I$ and circumcenter $O$.
Call $A_b, A_c$ the reflection of $A$ on lines $BI$ and $CI$, respectively. Define $B_c, B_a$ and $C_a, C_b$ analogously.
Then line segments $B_cC_b$, $C_aA_c$ and $A_bB_c$ are parallel. They are also proportional to the sides of $ABC$ and we have the ratios $B_cC_b/BC = C_aA_c/CA = A_bB_a/AB = OI/R$.


The common infinite point of lines $B_cC_b, C_aA_c$ and $A_bB_c$ is the isogonal conjugate of the point $X_{100}$.

SONIA + FRAN = PABLO

Con motivo del nacimiento de Pablo, presento este criptograma en el que cada letra corresponde a uno de los dígitos del 0 al 9, sin que se repita ninguno.

¿Sabrías encontrar alguna de las ocho soluciones? Y claro, ¿por qué no las ocho?