El libro de Petersen

Ya hace tiempo puse en mi web una sección dedicada al libro Métodos y Teoría para Resolver Problemas Geométricos de Julius Petersen. Allí se indica como descargar el libro de Gallica (en francés).

Hay una traducción al castellano por el insigne José Gallego Díaz, con varias ediciones.

También puede encontrase en archive.org

Muy pocos de los problemas de este libro se ofrecen resueltos. En algunos casos se dan algunas indicaciones, y también la sección donde se encuentran es una pista para vislumbar una solución, pero es muy fácil quedarse atascado al intentar algunos de ellos.

El gran Jose María Pedret los resolvió todos. Alguna vez se ofreció a enviarme las figuras Cabri correspondientes. Desgraciadamente, lo dejé para más adelante y, las figuras con las seguro que interesantes soluciones del Gran Maestro se perdieron para siempre cuando el disco duro que las contenía se estropeó. 

Un buen libro de problemas

El libro Olimpiadas y Exámenes de Admisión, por G. N. Medviédev, contiene problemas tomados de diferentes variantes de exámenes que tuvieron lugar en la Facultad de Física de la Universidad Lomonósov de Moscú.

Inciden en cómo resolver y escribir correctamente la solución de un problema. Del prólogo, destacamos: "Frecuentemente después de un examen se pueden oir comentarios como 'Resolví la mayor de los problemas, pero no sé si los resolví correctamente'. En esta frase se mezcla lo humorístico (¿qué es un problema resuelto incorrectamente?) y lo trágico".

Como muestra, un problema de los propuestos, y mi solución al mismo.

Problema. Un automóvil parte del punto $A$ y se mueve con velocidad constante $v$ km/h en dirección al punto $B$. La distancia entre estos dos puntos es de 24,5 km. En el punto $B$ el automóvil comienza a moverse con movimiento uniformemetne retardado, disminuyendo su velocidad cada hora en 54 km/h, y se mueve de este modo hasta detenerse completamente. Después de detenerse, el automóvil regresa al punto $A$ con velocidad constante $v$ km/h. ¿Cuál debe ser la velocidad $v$ para que el automóvil recorra lo más rápido posible el camino desde el punto $A$ hasta el punto donde se detiene y desde aquí hasta el punto $A$ de la manera indicada anteriormente?

Solución

Llamamos $d=24,5$ y $a=54$. El primer trayecto es un movimiento uniforme con velocidad $v$, por lo que el tiempo empleado es $d/v$ horas. En el segundo trayecto, si llamamos $t$ al tiempo que dura la decelaración, tendremos que $v-at=0$, por lo que $t=v/a$. En ese tiempo, el espacio recorrido será \[s = vt - \frac{1}{2}a{t^2} = \frac{{{v^2}}}{a} - \frac{{{v^2}}}{{2a}} = \frac{{{v^2}}}{{2a}}.\] El tiempo que tardará en hacer el retorno será \[\frac{{d + \displaystyle \frac{{{v^2}}}{{2a}}}}{v} = \frac{d}{v} + \frac{v}{{2a}},\] y entonces el tiempo total es \[\frac{d}{v} + \frac{v}{a} + \left( {\frac{d}{v} + \frac{v}{{2a}}} \right) = \frac{{2d}}{v} + \frac{{3v}}{{2a}},\] que es máximo cuando \[\frac{{2d}}{v} = \frac{{3v}}{{2a}} \Rightarrow {v^2} = \frac{{4ad}}{3} = \frac{{4 \cdot 54 \cdot 24,5}}{3} = 36 \cdot 49 \Rightarrow v = 6 \cdot 7 = 42{\text{ km/h}}.\]