Concurrent Brocard Axes

Let $ABC$ be a triangle, $P$ a point and $A' = AP \cap BC$. If the Euler lines of three triangles from the set $\{A'AB, A'BP, A'PC, A'CA\}$ are concurrent, then the Euler lines of all four triangles are concurrent (see Forum Geometricorum 2001).

Antreas Hatzipolakis asks for the same for Brocard axes (see Hyacinthos message 20664). Let's investigate it using barycentric coordinates and Mathematica.

Concurrent Brocard Axes

 

Orthology of Pedal and Cevian Triangles

In this article, I study the orthology of pedal and cevian triangles, and I identify the loci of the corresponding orthology centers.

Orthology of Pedal and Cevian Triangles

Un buen libro de problemas

El libro Olimpiadas y Exámenes de Admisión, por G. N. Medviédev, contiene problemas tomados de diferentes variantes de exámenes que tuvieron lugar en la Facultad de Física de la Universidad Lomonósov de Moscú.

Inciden en cómo resolver y escribir correctamente la solución de un problema. Del prólogo, destacamos: "Frecuentemente después de un examen se pueden oir comentarios como 'Resolví la mayor de los problemas, pero no sé si los resolví correctamente'. En esta frase se mezcla lo humorístico (¿qué es un problema resuelto incorrectamente?) y lo trágico".

Como muestra, un problema de los propuestos, y mi solución al mismo.

Problema. Un automóvil parte del punto $A$ y se mueve con velocidad constante $v$ km/h en dirección al punto $B$. La distancia entre estos dos puntos es de 24,5 km. En el punto $B$ el automóvil comienza a moverse con movimiento uniformemetne retardado, disminuyendo su velocidad cada hora en 54 km/h, y se mueve de este modo hasta detenerse completamente. Después de detenerse, el automóvil regresa al punto $A$ con velocidad constante $v$ km/h. ¿Cuál debe ser la velocidad $v$ para que el automóvil recorra lo más rápido posible el camino desde el punto $A$ hasta el punto donde se detiene y desde aquí hasta el punto $A$ de la manera indicada anteriormente?

Solución

Llamamos $d=24,5$ y $a=54$. El primer trayecto es un movimiento uniforme con velocidad $v$, por lo que el tiempo empleado es $d/v$ horas. En el segundo trayecto, si llamamos $t$ al tiempo que dura la decelaración, tendremos que $v-at=0$, por lo que $t=v/a$. En ese tiempo, el espacio recorrido será \[s = vt - \frac{1}{2}a{t^2} = \frac{{{v^2}}}{a} - \frac{{{v^2}}}{{2a}} = \frac{{{v^2}}}{{2a}}.\] El tiempo que tardará en hacer el retorno será \[\frac{{d + \displaystyle \frac{{{v^2}}}{{2a}}}}{v} = \frac{d}{v} + \frac{v}{{2a}},\] y entonces el tiempo total es \[\frac{d}{v} + \frac{v}{a} + \left( {\frac{d}{v} + \frac{v}{{2a}}} \right) = \frac{{2d}}{v} + \frac{{3v}}{{2a}},\] que es máximo cuando \[\frac{{2d}}{v} = \frac{{3v}}{{2a}} \Rightarrow {v^2} = \frac{{4ad}}{3} = \frac{{4 \cdot 54 \cdot 24,5}}{3} = 36 \cdot 49 \Rightarrow v = 6 \cdot 7 = 42{\text{ km/h}}.\]