¡Feliz 2026 y 2027!

Desde luego, lo habitual es a final de cada año, desear feliz año siguiente, pero no los dos siguientes a la vez.

En esta ocasión tiene sentido hacerlo así, al menos desde el punto de vista de la Geometría del Triángulo y de los numerosos centros del triángulo que se han catalogado hasta la fecha. 

Concretamente $X_{2026}$ y $X_{2027}$ están catalogados como los extremos de un cierto diámetro de la circunferencia de Gallatly.

Una excusa para introducirse en la Geometría del Triángulo y la gran cantidad de conceptos interesantes que confluyen en ella. En este caso: ángulos semiinscritos, circunferencias, conjugados isogonales, puntos de Brocard, circuncentro, punto simediano, eje de Brocard, circunferencia pedal, circunferencia de Gallatly...

Ver algún detalle más aquí.

¡Feliz 2026 y 2027!

El libro de Petersen

Ya hace tiempo puse en mi web una sección dedicada al libro Métodos y Teoría para Resolver Problemas Geométricos de Julius Petersen. Allí se indica como descargar el libro de Gallica (en francés).

Hay una traducción al castellano por el insigne José Gallego Díaz, con varias ediciones.

También puede encontrase en archive.org

Muy pocos de los problemas de este libro se ofrecen resueltos. En algunos casos se dan algunas indicaciones, y también la sección donde se encuentran es una pista para vislumbar una solución, pero es muy fácil quedarse atascado al intentar algunos de ellos.

El gran Jose María Pedret los resolvió todos. Alguna vez se ofreció a enviarme las figuras Cabri correspondientes. Desgraciadamente, lo dejé para más adelante y, las figuras con las seguro que interesantes soluciones del Gran Maestro se perdieron para siempre cuando el disco duro que las contenía se estropeó. 

Bellas Simedianas

En este trabajo estudiamos el lugar geométrico que se obtiene como variante en un problema. El estudio se hace desde las coordenadas baricéntricas y desde la geometría sintética. Como colofón, usamos la geometría proyectiva,  en particular el Teorema de Pascal para obtener varias construcciones de las simedianas.

Agradezco a Ercole Suppa por su certera revisión del documento.

PDF: Bellas simedianas.

Generalizing Perpendicularity

In this article we consider another point of view for perpendicularity, by replacing the involution at line at infinity to itself that sends an infinite point to the one with  perpendicular direction, by another one: given a point $S$, we consider the involution at line at infinity that sends the infinite point of the sidelines to the infinite points of cevians of $S$.

In this way for each statement of problem that involves perpendicularity we get a new version.

PDF: Generalizing perpendicularity

The Triangle Construction Problem (I, O, Ma)

We attack the problem of the construction of a triangle $ABC$ when the incenter $I$, the circumcenter $O$ and the midpoint $M_a$ of $BC$ are given.

We follow an idea from Luis Lopes of using two different loci for vertex $A$, that happen to be a line and a cubic.

lopes.pdf

Circunferencias inscritas en una lúnula

Demostramos la fórmula de los radios de las circunferencias inscritas en una lúnula.

FJGC-lúnula.pdf

La resultante y el discriminante

De vez en cuando uso la resultante de dos polinomios y el discriminante de un polinomio para resolver rápidamente con Mathematica alguna cuestión de tangencias. En el siguiente documento echamos un vistazo a estos dos conceptos. 

La resultante y el discriminante