The Bianticevian Conic

We give some properties of the so called bianticevian conic.

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Video (Spanish): 

Generalizing problem Nguyen085

 This time we study the following problem, proposed by David Nguyen in Facebook.

First of all we give a simple proof by using mass point geometry.  But we do not stop here. We study in detail some generalizations of the problem.

Find the details here: Generalizing problem Nguyen085

Unos haces proyectivos para la parábola

En 2017 publiqué en The College Mathematics Journal como una classroom capsule, el artículo Homographic Pencils for the Ellipse and the Hyperbola ¿Cómo no se me ocurrió en pensar algo parecido para la parábola? ¿Cómo el referee no me lo apuntó? 

Hasta hoy no se me ha ocurrido pensar en ello. Dedico esta entrada y este descubrimiento a la memoria de  nuestro amigo Ángel Montesdeoca, que falleció ya hace casi un año, pero no tuve conocimiento de ello hasta hace unos días.

Según el teorema de Chasles-Steiner, si tenemos una homografía $f:A^* \to B^*$ del haz de rectas que pasan por $A$ en el haz de rectas que pasan por $B$, y la homografía no es una siempre proyección, es decir,  cada recta y su imagen no se cortan todas en una misma recta, lo hacen en una cónica. 

Dados dos puntos $A$ y $B$, y un punto $V$ sobre la mediatriz de $AB$, buscamos la homografía $f:A^* \to B^*$ para la que la cónica correspondiente sea la parábola que pasa por $A$ y $B$ y que tiene vértice $V$.

Como muestra la figura anterior, la homografía $f$ es muy sencilla: para cualquier $M$ sobre la mediatriz de $AB$, hallamos el simétrico $M'$ de $M$ respecto del vértice $V$ y entonces definimos $f(AM)=BM'$. 

Es facil comprobar que $AM$ y $BM'$ se cortan sobre la parábola que pasa por $A$ y $B$ y tiene vértice $V$. 

En  coordenadas  cartesianas  podemos  expresar  $A = (-a, 0)$, $B=(a,0)$, $V=(0,v)$, $M=(0,m)$ y $M'=(0,2v-m)$. Entonces se puede comprobar que las rectas $AM$ y $BM'$ se cortan en el punto $P = \left( {\frac{{a(v - m)}}{v},\frac{{m(2v - m)}}{v}} \right),$ que está sobre la parábola $a^2 y = v (a^2 - x^2)$.

Angel Montesdeoca Delgado (1949-2024) - Un geómetra excepcional

Recientemente he tenido la triste noticia del fallecimiento de mi amigo, y el de muchos compañeros, Ángel Montesdeoca Delgado, fallecimiento que ocurrió el 18 de Mayo de 2024.

Ángel había nacido en la ciudad de Arucas (Las Palmas de Gran Canaria), el 4 de Enero de 1949. Una hermana de Ángel fue profesora de educación primaria. Otro hermano es José Montesdeoca,  Este hermano tuvo una carpintería en la barriada de Juan XXIII.

Su familia residía en en un casa terrera en El Puente de Arucas, en la actual calle Clemente Jordán, su padre era boyero (tenía bueyes en una finca). Y estudió, parece ser, primero en el grupo escolar Generalísimo (hoy Escuela Oficial de Idiomas de Arucas) y luego en el Colegio de La Salle, para posteriormente hacer la enseñanza secundaria en un instituto de Las Palmas, en  la zona de Tomás Morales.

Después hizo su formación universitaria en la Universidad de La Laguna. Su tesis doctoral lleva el nombre "Conexiones generalizadas en espacios fibrados".

El legado geométrico que nos deja Ángel es inmenso, imposible de resumir aquí.

• Geometría del Triángulo   y   Varios de Geometría
• Apuntes
• Geometría afín y euclídea.
• Geometría proyectiva. Cónicas y Cuádricas.
• Gráficas de curvas en implícitas, paramétricas y polares.
• Geometría diferencial de curvas y superficies.
• Variedades diferenciables. 
• Diagramas de conexiones lineales 
• Geometría de Riemann. 
• Ejercicios
• Construcciones geométricas
• Lugares geométricos y envolventes en el plano
• Triángulos  ---  Construcciones de triángulos  ---  Triángulos con Cabri (Ricardo Barroso)
• Representación gráfica de curvas
• Geometría afín
• Problemas métricos
• Geometría Proyectiva
• Cónicas
• Curvas paramétricas
• Contacto de curvas
• Curvatura y torsión de curvas (Triedro de Frenet)
• Superficies paramétricas
• Superficies de revolución
• Superficies regladas
• Plano tangente, 1FF., ángulos, longitudes, áreas
• Curvatura normal, media y de Gauss
• Líneas geodésicas
• Tansporte paralelo
• Problemas curiosos
• Cosas con LaTeX y PostScript

Algunas muestras de cariño al saber de su fallecimiento, de todas las partes del mundo:

• (Antreas Hatzipolakis, Grecia): Angel fue un grán geómetra, con valiosas contribuciones a la Geometría del Triángulo. La geometría se ha quedado más pobre.
• (Ércole Suppa, Italia): Angel, aparte de un gran experto en Geometría Proyectiva, y en Geometría del triángulo, fue una persona muy amable, siempre dispuesta a ayudar.
• (Chris van Tienhoven, Holanda): Siempre echaré de menos a Ángel por su profundo conocimiento de la Geometría y su naturaleza cálida y amigable. Cuando las cosas se volvían complicadas, siempre podía contar con él y sus claras y concienzudas.
• (Elias Hagos, Canadá): Revisé algunas de sus cientos de contribuciones a la ETC (Enciclopedia de Centros del Triángulo) y me impresionó la profundidad de sus construcciones.
• (César Lozada, Venezuela) En mis comienzos recibí su ayuda desinteresada y sabia. Descansa Paz. Ahora estás en la recta del infinito.
  
• (Tran Quang Hung, Vietnam) Me entristecí profundamente al oír las noticias sobre Ángel. Fue un devoto y apasionada geómetra, que se mantuvo dedicado a la Geometría hasta sus últimos días. Estoy muy agradecido por la ayuda que me dio con muchos problemas  with many problems, tanto en euclid como en AoPS.
• (Dao Thanh Oai, Vietnam)  Angel Montesdeoca Delgado fue uno de los buenos amigos que me ayudaron y motivaron en mis descubrimientos geométricos. Mis sinceras condolencias a él y su familia. Que descanse en paz.

Desde aquí agradezco la información proporcionada por José Montesdeoca, y también a Antonio M. Jiménez Medina de la concejalía de Cultura, Memoria Democrática y Patrimonio Histórico de la ciudad de Arucas. 

Para terminar, aquí vemos a Ángel en un paseo por el campo, acompañado por los perros de su hermano José.

Constant direction

We start from a proposal by George A. Tsiamas in Facebook

 We give a proof by using barycentric coordinates. In addition we generalize  the problem for the case in which circles have different radii and finally we consider a homography from line $BC$ to line at infiinity that establishes a relationship between the ratio of the radii of the two circles and the constant direction of the lines joining the midpoints considered in the statement.

Constant direction

Nguyen 046: a generalization leads to a fistful of loci

We start from a proposal by David Nguyen and a generalization gives some loci that satisfy the same property than the centroid:

• Three hyperbolas
• The circumconic with center the symmedian point
• A quartic.

Read here the details: Nguyen046

Envelope of trilinear polars of isogonal conjugates of points on a circle

Given a circle, the envelope of the trilinear polars of the isogonal conjugates of points on the circle is a conic .

The conic, to be a parabola, needs that the given circle goes through the symmedian point $K$ .

Given a circle through $K$ centered at $Q$, call $F'$ the second intersection of $KQ$ and Jerabek hyperbola, and $F''$ the reflection of $F'$ in the midpoint of $K$ and $X_{5505}$. Then the focus $F$ of the parabola lies on line $KF''$ .

Then line joining $F'$ and $X_{5486}$ is parallel to the axis of the parabola .

The point $X_{5505}$ is the Kirikami concurrent circles image of $K$.

In general, let $P$ be a point in the plane of triangle $ABC$ . Let $H_a$ be the orthocenter of triangle $PBC$, and define $H_b$ and $H_c$ cyclically . Let $O_a$ be the circle through the points $A$, $H_b$, $H_c$, and define $O_b$ and $O_c$ cyclically . The circles $O_a$, $O_b$, $O_c$ concur at the Kirikami concurrent circles image of $P$.

The point $X_{5486}$ is the Kirikami Euler image of $K$ .

In general, let $P$ be a point in the plane of triangle $ABC$ . Let $H_a$ be the orthocenter of triangle $PBC$, and define $H_b$ and $H_c$ cyclically. The Euler lines of the triangles $AH_bHc$, $BH_cH_a$, $CH_aH_b$ concur at the Kirikami-Euler image of $P$.

Calculations with Mathematica (pdf version here)